Rezolvați 6x^2-7x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } -7x+1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=6\times 1=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-6 b=-1$$

Rescrieți 6x^{2}-7x+1 ca \left(6x^{2}-6x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factor 6x în primul și -1 în al doilea grup.

$$6x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(6x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 6x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{6}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-7x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -7 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\times 6}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±5}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{7±5}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±5}{12} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 5.

$$x=\frac{12}{12}$$

Împărțiți 12 la 12.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±5}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 7.

$$x=\frac{2}{12}$$

Reduceți fracția \frac{2}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{1}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-7x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-7x=-1$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Împărțiți -\frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{49}{144}$$

Adunați -\frac{1}{6} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{25}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{5}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{5}{12}$$

Adunați \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{1}{6}$$