Rezolvați 6x^2+4x-10=0

$$6 { x }^{ 2 } +4x-10=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$3x^{2}+2x-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-3 b=5$$

Rescrieți 3x^{2}+2x-5 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(5x-5\right)$$

Factor 3x în primul și 5 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+5=0.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+4x-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 4 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 6\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-24\left(-10\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -10.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 6}$$

Adunați 16 cu 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-4±16}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±16}{12} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 16.

$$x=\frac{12}{12}$$

Împărțiți 12 la 12.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±16}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -4.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+4x-10=0$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}+4x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Scăderea -10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}+4x=-\left(-10\right)$$

Scădeți -10 din 0.

$$6x^{2}+4x=10$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+4x}{6}=\frac{10}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{4}{6}x=\frac{10}{6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{10}{6}$$

Reduceți fracția \frac{10}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Împărțiți \frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Adunați \frac{5}{3} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Scădeți \frac{1}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$