Rezolvați 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-7. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 19.

$$a=-2 b=21$$

Rescrieți 6x^{2}+19x-7 ca \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Factor 2x în primul și 7 în al doilea grup.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 19 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 19 la pătrat.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Adunați 361 cu 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-19±23}{12} atunci când ± este plus. Adunați -19 cu 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-19±23}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Împărțiți \frac{19}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{19}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{19}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{19}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Adunați \frac{7}{6} cu \frac{361}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Scădeți \frac{19}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$