Rezolvați 5x-20=left(x-4right)x

$$5x-20 = \left( x-4 \right) x$$

Rezolvați pentru x

$$x=4$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x.

$$5x-20=x^{2}-4x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x-20-x^{2}=-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$5x-20-x^{2}+4x=0$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-20-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+9x-20=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=9 ab=-\left(-20\right)=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 9.

$$a=5 b=4$$

Rescrieți -x^{2}+9x-20 ca \left(-x^{2}+5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Factor -x în primul și 4 în al doilea grup.

$$-x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(-x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și -x+4=0.

$$x=5 x=4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x.

$$5x-20=x^{2}-4x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x-20-x^{2}=-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$5x-20-x^{2}+4x=0$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-20-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+9x-20=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 9 și c cu -20 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -20.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 81 cu -80.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-9±1}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-9±1}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±1}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 1.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Împărțiți -8 la -2.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±1}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -9.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Împărțiți -10 la -2.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți x-4 cu x.

$$5x-20=x^{2}-4x$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$5x-20-x^{2}=-4x$$

Adăugați 4x la ambele părți.

$$5x-20-x^{2}+4x=0$$

Combinați 5x cu 4x pentru a obține 9x.

$$9x-20-x^{2}=0$$

Adăugați 20 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$9x-x^{2}=20$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=20$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{20}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{20}{-1}$$

Împărțiți 9 la -1.

$$x^{2}-9x=\frac{20}{-1}$$

Împărțiți 20 la -1.

$$x^{2}-9x=-20$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-20+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-20+\frac{81}{4}$$

Adunați -20 cu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=4$$