Rezolvați 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 56x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -30.

$$a=-28 b=-2$$

Rescrieți 56x^{2}-30x+1 ca \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Factor 28x în primul și -1 în al doilea grup.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 56, b cu -30 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Ridicați -30 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Înmulțiți -4 cu 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Adunați 900 cu -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Opusul lui -30 este 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Înmulțiți 2 cu 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{30±26}{112} atunci când ± este plus. Adunați 30 cu 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Reduceți fracția \frac{56}{112} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{30±26}{112} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Reduceți fracția \frac{4}{112} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Se împart ambele părți la 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Împărțirea la 56 anulează înmulțirea cu 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{56} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Împărțiți -\frac{15}{28}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{56}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{56} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{56} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Adunați -\frac{1}{56} cu \frac{225}{3136} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Factor x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Adunați \frac{15}{56} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$