Rezolvați 5x^2-x+7=0

$$5 x ^ { 2 } - x + 7 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}\approx 0,1+1,178982612i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}\approx 0,1-1,178982612i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -1 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\times 7}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-140}}{2\times 5}$$

Adunați 1 cu -140.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-139}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -139.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu i\sqrt{139}.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{139}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{139} din 1.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-x=-7$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Împărțiți -\frac{1}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Adunați -\frac{7}{5} cu \frac{1}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=-\frac{139}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=-\frac{139}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{139}i}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{139}i}{10}$$

Adunați \frac{1}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{139}i}{10} x=\frac{-\sqrt{139}i+1}{10}$$