Rezolvați 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -5 și c cu -17 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Adunați 25 cu 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Împărțiți 5+\sqrt{365} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{365} din 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Împărțiți 5-\sqrt{365} la 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Adunați 17 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Scăderea -17 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Scădeți -17 din 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Împărțiți -5 la 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Adunați \frac{17}{5} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$