Rezolvați 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-10 b=8$$

Rescrieți 5x^{2}-2x-16 ca \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Factor 5x în primul și 8 în al doilea grup.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -2 și c cu -16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Adunați 4 cu 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±18}{10} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Împărțiți 20 la 10.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±18}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Adunați 16 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Scăderea -16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Scădeți -16 din 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Împărțiți -\frac{2}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Adunați \frac{16}{5} cu \frac{1}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Adunați \frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$