Rezolvați 5x^2-2x+1=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i=0,2+0,4i$$

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i=0,2-0,4i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -2 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20}}{2\times 5}$$

Adunați 4 cu -20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-16}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4i}{2\times 5}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±4i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{2±4i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4i}{10} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 4i.

$$x=\frac{2+4i}{10}$$

Împărțiți 2+4i la 10.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 4i din 2.

$$x=\frac{2-4i}{10}$$

Împărțiți 2-4i la 10.

$$x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-2x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-2x=-1$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Împărțiți -\frac{2}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}$$

Adunați -\frac{1}{5} cu \frac{1}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{4}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{2}{5}i x-\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}i$$

Adunați \frac{1}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i x=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i$$