Rezolvați 5x^2-12x+4=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-10 b=-2$$

Rescrieți 5x^{2}-12x+4 ca \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Factor 5x în primul și -2 în al doilea grup.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și 5x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -12 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

Adunați 144 cu -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±8}{10} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 8.

$$x=\frac{20}{10}$$

Împărțiți 20 la 10.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±8}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-12x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-12x=-4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Împărțiți -\frac{12}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

Adunați -\frac{4}{5} cu \frac{36}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

Adunați \frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$