Rezolvați 5x^2+8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=-2 b=10$$

Rescrieți 5x^{2}+8x-4 ca \left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

Factor x în primul și 2 în al doilea grup.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-2=0 și x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 8 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Adunați 64 cu 80.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±12}{10} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±12}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din -8.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Împărțiți -20 la 10.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$5x^{2}+8x=4$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Împărțiți \frac{8}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Adunați \frac{4}{5} cu \frac{16}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Scădeți \frac{4}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$