Rezolvați 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -72 și c cu -108 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -72 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Adunați 5184 cu 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Opusul lui -72 este 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 72 cu 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Împărțiți 72+12\sqrt{51} la 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 12\sqrt{51} din 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Împărțiți 72-12\sqrt{51} la 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Adunați 108 la ambele părți ale ecuației.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Scăderea -108 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Scădeți -108 din 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Împărțiți -\frac{72}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{36}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{36}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{36}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Adunați \frac{108}{5} cu \frac{1296}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Factor t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Adunați \frac{36}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$