Rezolvați 5a^2+27a+10=0

$$5 a ^ { 2 } + 27 a + 10 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=-5$$

$$a=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5a^{2}+aa+ba+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

Soluția este perechea care dă suma de 27.

$$a=2 b=25$$

Rescrieți 5a^{2}+27a+10 ca \left(5a^{2}+2a\right)+\left(25a+10\right).

$$\left(5a^{2}+2a\right)+\left(25a+10\right)$$

Factor a în primul și 5 în al doilea grup.

$$a\left(5a+2\right)+5\left(5a+2\right)$$

Scoateți termenul comun 5a+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5a+2\right)\left(a+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5a+2=0 și a+5=0.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5a^{2}+27a+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 27 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Ridicați 27 la pătrat.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 10.

$$a=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

Adunați 729 cu -200.

$$a=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$a=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$a=\frac{-27±23}{10}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-27±23}{10} atunci când ± este plus. Adunați -27 cu 23.

$$a=-\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$a=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-27±23}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din -27.

$$a=-\frac{50}{10}$$

Împărțiți -50 la 10.

$$a=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5a^{2}+27a+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$5a^{2}+27a+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5a^{2}+27a=-10$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5a^{2}+27a}{5}=-\frac{10}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a=-\frac{10}{5}$$

Împărțiți -10 la 5.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a=-2$$

Împărțiți \frac{27}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{27}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{27}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}=-2+\left(\frac{27}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{27}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}=-2+\frac{729}{100}$$

Adunați -2 cu \frac{729}{100}.

$$a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}=\frac{529}{100}$$

Factor a^{2}+\frac{27}{5}a+\frac{729}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{27}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a+\frac{27}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Simplificați.

$$a+\frac{27}{10}=\frac{23}{10} a+\frac{27}{10}=-\frac{23}{10}$$

Scădeți \frac{27}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$a=-\frac{2}{5} a=-5$$