Rezolvați 5-x=2x^2/9

$$5 - x = \frac { 2 x ^ { 2 } } { 9 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 9.

$$45-9x=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$45-9x-2x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-2x^{2}-9x+45=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx+45. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=-2\times 45=-90$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=6 b=-15$$

Rescrieți -2x^{2}-9x+45 ca \left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-15x+45\right).

$$\left(-2x^{2}+6x\right)+\left(-15x+45\right)$$

Factor 2x în primul și 15 în al doilea grup.

$$2x\left(-x+3\right)+15\left(-x+3\right)$$

Scoateți termenul comun -x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+3\right)\left(2x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+3=0 și 2x+15=0.

$$x=3 x=-\frac{15}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 9.

$$45-9x=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$45-9x-2x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}-9x+45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu -9 și c cu 45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 45}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-2\right)\times 45}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+8\times 45}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 81 cu 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\left(-2\right)}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±21}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{9±21}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±21}{-4} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 21.

$$x=\frac{30}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{30}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±21}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 21 din 9.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

Împărțiți -12 la -4.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{15}{2} x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 9.

$$45-9x=2x^{2}$$

Scădeți 2x^{2} din ambele părți.

$$45-9x-2x^{2}=0$$

Scădeți 45 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-9x-2x^{2}=-45$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-9x=-45$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}-9x}{-2}=-\frac{45}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-2}\right)x=-\frac{45}{-2}$$

Împărțiți -9 la -2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{45}{-2}$$

Împărțiți -45 la -2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Împărțiți \frac{9}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Adunați \frac{45}{2} cu \frac{81}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Scădeți \frac{9}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{15}{2}$$