Rezolvați 5x^2-8x(2+14x)=108-x

$$5 { x }^{ 2 } -8x(2+14x)=108-x$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}\approx -0,070093458-1,0022139i$$

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}\approx -0,070093458+1,0022139i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 108 din ambele părți.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108=-x$$

Adăugați x la ambele părți.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)-108+x=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -8x cu 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}-108+x=0$$

Combinați 5x^{2} cu -112x^{2} pentru a obține -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x-108+x=0$$

Combinați -16x cu x pentru a obține -15x.

$$-107x^{2}-15x-108=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -107, b cu -15 și c cu -108 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-107\right)\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -107.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+428\left(-108\right)}}{2\left(-107\right)}$$

Înmulțiți 428 cu -108.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-46224}}{2\left(-107\right)}$$

Adunați 225 cu -46224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-45999}}{2\left(-107\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -45999.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{2\left(-107\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -107.

$$x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 3i\sqrt{5111}.

$$x=\frac{15+3\sqrt{5111}i}{-214}$$

Împărțiți 15+3i\sqrt{5111} la -214.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±3\sqrt{5111}i}{-214} atunci când ± este minus. Scădeți 3i\sqrt{5111} din 15.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i+15}{-214}$$

Împărțiți 15-3i\sqrt{5111} la -214.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214} x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214}$$

Pași pentru completarea pătratului

Adăugați x la ambele părți.

$$5x^{2}-8x\left(2+14x\right)+x=108$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -8x cu 2+14x.

$$5x^{2}-16x-112x^{2}+x=108$$

Combinați 5x^{2} cu -112x^{2} pentru a obține -107x^{2}.

$$-107x^{2}-16x+x=108$$

Combinați -16x cu x pentru a obține -15x.

$$-107x^{2}-15x=108$$

Se împart ambele părți la -107.

$$\frac{-107x^{2}-15x}{-107}=\frac{108}{-107}$$

Împărțirea la -107 anulează înmulțirea cu -107.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-107}\right)x=\frac{108}{-107}$$

Împărțiți -15 la -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=\frac{108}{-107}$$

Împărțiți 108 la -107.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x=-\frac{108}{107}$$

Împărțiți \frac{15}{107}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{15}{214}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{15}{214} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{108}{107}+\left(\frac{15}{214}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{15}{214} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{108}{107}+\frac{225}{45796}$$

Adunați -\frac{108}{107} cu \frac{225}{45796} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}=-\frac{45999}{45796}$$

Factor x^{2}+\frac{15}{107}x+\frac{225}{45796}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}=-\frac{45999}{45796}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{214}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{45999}{45796}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{15}{214}=\frac{3\sqrt{5111}i}{214} x+\frac{15}{214}=-\frac{3\sqrt{5111}i}{214}$$

Scădeți \frac{15}{214} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-15+3\sqrt{5111}i}{214} x=\frac{-3\sqrt{5111}i-15}{214}$$