Rezolvați 5x^2-33x-14=0

$$5 { x }^{ 2 } -33x-14 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-14. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-33 ab=5\left(-14\right)=-70$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -70.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -33.

$$a=-35 b=2$$

Rescrieți 5x^{2}-33x-14 ca \left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(2x-14\right)$$

Factor 5x în primul și 2 în al doilea grup.

$$5x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(5x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și 5x+2=0.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -33 și c cu -14 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -33 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -14.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+280}}{2\times 5}$$

Adunați 1089 cu 280.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1369}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1369.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±37}{2\times 5}$$

Opusul lui -33 este 33.

$$x=\frac{33±37}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{33±37}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{33±37}{10} atunci când ± este plus. Adunați 33 cu 37.

$$x=\frac{70}{10}$$

Împărțiți 70 la 10.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{33±37}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 37 din 33.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-33x-14=0$$

Adunați 14 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-33x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Scăderea -14 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-33x=-\left(-14\right)$$

Scădeți -14 din 0.

$$5x^{2}-33x=14$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-33x}{5}=\frac{14}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{14}{5}$$

Împărțiți -\frac{33}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{33}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{33}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{14}{5}+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{33}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{14}{5}+\frac{1089}{100}$$

Adunați \frac{14}{5} cu \frac{1089}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{1369}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{1369}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{100}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{37}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{37}{10}$$

Adunați \frac{33}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-\frac{2}{5}$$