Rezolvați 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu -12 și c cu -7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Adunați 144 cu 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Împărțiți 12+2\sqrt{71} la 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{71} din 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Împărțiți 12-2\sqrt{71} la 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Împărțiți -\frac{12}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Adunați \frac{7}{5} cu \frac{36}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Adunați \frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$