Rezolvați 5x^2+3x-2=0

$$5 { x }^{ 2 } +3x-2=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 3.

$$a=-2 b=5$$

Rescrieți 5x^{2}+3x-2 ca \left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right)$$

Scoateți factorul comun x din 5x^{2}-2x.

$$x\left(5x-2\right)+5x-2$$

Scoateți termenul comun 5x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-2\right)\left(x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-2=0 și x+1=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 3 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Adunați 9 cu 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-3±7}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±7}{10} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 7.

$$x=\frac{4}{10}$$

Reduceți fracția \frac{4}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±7}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -3.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Împărțiți -10 la 10.

$$x=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Scădeți -2 din 0.

$$5x^{2}+3x=2$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Împărțiți \frac{3}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{10}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Adunați \frac{2}{5} cu \frac{9}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Scădeți \frac{3}{10} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$