Rezolvați 5x^2+23x+12

$$5 { x }^{ 2 } +23x+12$$

Descompunere în factori

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 5x^{2}+ax+bx+12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=23 ab=5\times 12=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 23.

$$a=3 b=20$$

Rescrieți 5x^{2}+23x+12 ca \left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right).

$$\left(5x^{2}+3x\right)+\left(20x+12\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(5x+3\right)+4\left(5x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 5x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+23x+12=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Ridicați 23 la pătrat.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-20\times 12}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 12.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-240}}{2\times 5}$$

Adunați 529 cu -240.

$$x=\frac{-23±\sqrt{289}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-23±17}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-23±17}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-23±17}{10} atunci când ± este plus. Adunați -23 cu 17.

$$x=-\frac{6}{10}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{10} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-23±17}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -23.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Împărțiți -40 la 10.

$$x=-4$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{3}{5} și x_{2} cu -4.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$5x^{2}+23x+12=5\left(x+\frac{3}{5}\right)\left(x+4\right)$$

Adunați \frac{3}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$5x^{2}+23x+12=5\times \frac{5x+3}{5}\left(x+4\right)$$

Simplificați cu 5, cel mai mare factor comun din 5 și 5.

$$5x^{2}+23x+12=\left(5x+3\right)\left(x+4\right)$$

Evaluați

$$\left(x+4\right)\left(5x+3\right)$$