Rezolvați 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Descompunere în factori

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 49n^{2}+an+bn+144. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 7056.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

Soluția este perechea care dă suma de 168.

$$a=84 b=84$$

Rescrieți 49n^{2}+168n+144 ca \left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Factor 7n în primul și 12 în al doilea grup.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Scoateți termenul comun 7n+12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Ridicați 168 la pătrat.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -4 cu 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -196 cu 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Adunați 28224 cu -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Înmulțiți 2 cu 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{12}{7} și x_{2} cu -\frac{12}{7}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Adunați \frac{12}{7} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Adunați \frac{12}{7} cu n găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Înmulțiți \frac{7n+12}{7} cu \frac{7n+12}{7} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Înmulțiți 7 cu 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Simplificați cu 49, cel mai mare factor comun din 49 și 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Evaluați

$$\left(7n+12\right)^{2}$$