Rezolvați 45+2a-8a^2

$$45 + 2 a - 8 a ^ { 2 }$$

Descompunere în factori

$$-\left(2a-5\right)\left(4a+9\right)$$

Pașii soluției

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-8a^{2}+2a+45$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca -8a^{2}+pa+qa+45. Pentru a găsi p și q, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$p+q=2 pq=-8\times 45=-360$$

Deoarece pq este negativ, p și q au semne opuse. Deoarece p+q este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$p=20 q=-18$$

Rescrieți -8a^{2}+2a+45 ca \left(-8a^{2}+20a\right)+\left(-18a+45\right).

$$\left(-8a^{2}+20a\right)+\left(-18a+45\right)$$

Factor -4a în primul și -9 în al doilea grup.

$$-4a\left(2a-5\right)-9\left(2a-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2a-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2a-5\right)\left(-4a-9\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$-8a^{2}+2a+45=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$a=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)\times 45}}{2\left(-8\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$a=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)\times 45}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -8.

$$a=\frac{-2±\sqrt{4+32\times 45}}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 32 cu 45.

$$a=\frac{-2±\sqrt{4+1440}}{2\left(-8\right)}$$

Adunați 4 cu 1440.

$$a=\frac{-2±\sqrt{1444}}{2\left(-8\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1444.

$$a=\frac{-2±38}{2\left(-8\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -8.

$$a=\frac{-2±38}{-16}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-2±38}{-16} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 38.

$$a=\frac{36}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{36}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$a=-\frac{9}{4}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{-2±38}{-16} atunci când ± este minus. Scădeți 38 din -2.

$$a=-\frac{40}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$a=\frac{5}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{9}{4} și x_{2} cu \frac{5}{2}.

$$-8a^{2}+2a+45=-8\left(a-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)\left(a-\frac{5}{2}\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$-8a^{2}+2a+45=-8\left(a+\frac{9}{4}\right)\left(a-\frac{5}{2}\right)$$

Adunați \frac{9}{4} cu a găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-8a^{2}+2a+45=-8\times \frac{-4a-9}{-4}\left(a-\frac{5}{2}\right)$$

Scădeți \frac{5}{2} din a găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-8a^{2}+2a+45=-8\times \frac{-4a-9}{-4}\times \frac{-2a+5}{-2}$$

Înmulțiți \frac{-4a-9}{-4} cu \frac{-2a+5}{-2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$-8a^{2}+2a+45=-8\times \frac{\left(-4a-9\right)\left(-2a+5\right)}{-4\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$-8a^{2}+2a+45=-8\times \frac{\left(-4a-9\right)\left(-2a+5\right)}{8}$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din -8 și 8.

$$-8a^{2}+2a+45=-\left(-4a-9\right)\left(-2a+5\right)$$

Evaluați

$$45+2a-8a^{2}$$