Rezolvați 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Combinați 40x cu 60x pentru a obține 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Scădeți 200 din ambele părți.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 100 și c cu -200 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 100 la pătrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 10000 cu -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -100 cu 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Împărțiți -100+20\sqrt{17} la -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 20\sqrt{17} din -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Împărțiți -100-20\sqrt{17} la -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Combinați 40x cu 60x pentru a obține 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Împărțiți 100 la -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Împărțiți 200 la -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Împărțiți -25, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{25}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{25}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Adunați -50 cu \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Factor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Adunați \frac{25}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$