Rezolvați 49x^2+2x-15=0

$$49 { x }^{ 2 } +2x-15=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}\approx 0,533251427$$

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}\approx -0,574067754$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 49, b cu 2 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 49\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -4 cu 49.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-196\left(-15\right)}}{2\times 49}$$

Înmulțiți -196 cu -15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2940}}{2\times 49}$$

Adunați 4 cu 2940.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2944}}{2\times 49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2944.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{2\times 49}$$

Înmulțiți 2 cu 49.

$$x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 8\sqrt{46}.

$$x=\frac{8\sqrt{46}-2}{98}$$

Împărțiți -2+8\sqrt{46} la 98.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±8\sqrt{46}}{98} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{46} din -2.

$$x=\frac{-8\sqrt{46}-2}{98}$$

Împărțiți -2-8\sqrt{46} la 98.

$$x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+2x-15=0$$

Adunați 15 la ambele părți ale ecuației.

$$49x^{2}+2x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Scăderea -15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$49x^{2}+2x=-\left(-15\right)$$

Scădeți -15 din 0.

$$49x^{2}+2x=15$$

Se împart ambele părți la 49.

$$\frac{49x^{2}+2x}{49}=\frac{15}{49}$$

Împărțirea la 49 anulează înmulțirea cu 49.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x=\frac{15}{49}$$

Împărțiți \frac{2}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{49}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{49} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{15}{49}+\left(\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{49} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{15}{49}+\frac{1}{2401}$$

Adunați \frac{15}{49} cu \frac{1}{2401} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}=\frac{736}{2401}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{49}x+\frac{1}{2401}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}=\frac{736}{2401}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{736}{2401}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{49}=\frac{4\sqrt{46}}{49} x+\frac{1}{49}=-\frac{4\sqrt{46}}{49}$$

Scădeți \frac{1}{49} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4\sqrt{46}-1}{49} x=\frac{-4\sqrt{46}-1}{49}$$