Rezolvați 4x^2-8x=1

$$4 x ^ { 2 } - 8 x = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx 2,118033989$$

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1\approx -0,118033989$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-8x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-8x-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-8x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -8 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+16}}{2\times 4}$$

Adunați 64 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{80}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}+8}{8}$$

Împărțiți 8+4\sqrt{5} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±4\sqrt{5}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{5} din 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{5}}{8}$$

Împărțiți 8-4\sqrt{5} la 8.

$$x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x=1$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{1}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți -8 la 4.

$$x^{2}-2x=\frac{1}{4}$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{4}+1$$

Adunați \frac{1}{4} cu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplificați.

$$x-1=\frac{\sqrt{5}}{2} x-1=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{5}}{2}+1$$