Rezolvați 4x^2-2x-18=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x - 18 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 1}{4} \approx 2,386000936$$

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\approx -1,886000936$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -2 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -18.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+288}}{2\times 4}$$

Adunați 4 cu 288.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{292}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 292.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+2}{8}$$

Împărțiți 2+2\sqrt{73} la 8.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{73} din 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{73}}{8}$$

Împărțiți 2-2\sqrt{73} la 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Adunați 18 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}-2x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Scăderea -18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-18\right)$$

Scădeți -18 din 0.

$$4x^{2}-2x=18$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{18}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{18}{4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{18}{4}$$

Reduceți fracția \frac{18}{4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Împărțiți -\frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{9}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{73}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Adunați \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$