Rezolvați 4x^2+6x-1>0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x - 1 > 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{13}-3}{4},\infty\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+6x-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 4, b cu 6 și c cu -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{-6±2\sqrt{13}}{8} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{13}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$4\left(x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\right)>0$$

Pentru ca produsul să fie pozitiv, x-\frac{\sqrt{13}-3}{4} și x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} trebuie să fie ambele fie negative, fie pozitive. Tratați cazul în care atât x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}, cât și x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} sunt negative.

$$x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}<0 x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}<0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}$$

Tratați cazul în care atât x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}, cât și x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4} sunt pozitive.

$$x-\frac{-\sqrt{13}-3}{4}>0 x-\frac{\sqrt{13}-3}{4}>0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}.

$$x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x<\frac{-\sqrt{13}-3}{4}\text{; }x>\frac{\sqrt{13}-3}{4}$$