Rezolvați 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 28 și c cu 53 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Ridicați 28 la pătrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Adunați 784 cu -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±8i}{8} atunci când ± este plus. Adunați -28 cu 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Împărțiți -28+8i la 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±8i}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8i din -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Împărțiți -28-8i la 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Scădeți 53 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Scăderea 53 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Împărțiți 28 la 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Împărțiți 7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Adunați -\frac{53}{4} cu \frac{49}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Factor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Scădeți \frac{7}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$