Rezolvați 4x+102=-20x(3-6x)

$$4 x + 102 = - 20 x ( 3 - 6 x )$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx 1,226412003$$

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx -0,69307867$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -20x cu 3-6x.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Adăugați 60x la ambele părți.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Combinați 4x cu 60x pentru a obține 64x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Scădeți 120x^{2} din ambele părți.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-120x^{2}+64x+102=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -120, b cu 64 și c cu 102 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Ridicați 64 la pătrat.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -120.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

Înmulțiți 480 cu 102.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}$$

Adunați 4096 cu 48960.

$$x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 53056.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -120.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240} atunci când ± este plus. Adunați -64 cu 8\sqrt{829}.

$$x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}$$

Împărțiți -64+8\sqrt{829} la -240.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{829} din -64.

$$x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}$$

Împărțiți -64-8\sqrt{829} la -240.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -20x cu 3-6x.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

Adăugați 60x la ambele părți.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

Combinați 4x cu 60x pentru a obține 64x.

$$64x+102=120x^{2}$$

Scădeți 120x^{2} din ambele părți.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

Scădeți 102 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$64x-120x^{2}=-102$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-120x^{2}+64x=-102$$

Se împart ambele părți la -120.

$$\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}$$

Împărțirea la -120 anulează înmulțirea cu -120.

$$x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}$$

Reduceți fracția \frac{64}{-120} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}$$

Reduceți fracția \frac{-102}{-120} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}$$

Împărțiți -\frac{8}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{15}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{15} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{15} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}$$

Adunați \frac{17}{20} cu \frac{16}{225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}$$

Adunați \frac{4}{15} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$