Rezolvați 4v^2+8v=-3

$$4 v ^ { 2 } + 8 v = - 3$$

Rezolvați pentru v

$$v = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$v=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 3 la ambele părți.

$$4v^{2}+8v+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4v^{2}+av+bv+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=4\times 3=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=2 b=6$$

Rescrieți 4v^{2}+8v+3 ca \left(4v^{2}+2v\right)+\left(6v+3\right).

$$\left(4v^{2}+2v\right)+\left(6v+3\right)$$

Factor 2v în primul și 3 în al doilea grup.

$$2v\left(2v+1\right)+3\left(2v+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2v+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2v+1\right)\left(2v+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2v+1=0 și 2v+3=0.

$$v=-\frac{1}{2} v=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4v^{2}+8v=-3$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$4v^{2}+8v-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4v^{2}+8v-\left(-3\right)=0$$

Scădeți -3 din 0.

$$4v^{2}+8v+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 8 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$v=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$v=\frac{-8±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 3.

$$v=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Adunați 64 cu -48.

$$v=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$v=\frac{-8±4}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$v=\frac{-8±4}{8}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-8±4}{8} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 4.

$$v=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$v=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-8±4}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -8.

$$v=-\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$v=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$v=-\frac{1}{2} v=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4v^{2}+8v=-3$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4v^{2}+8v}{4}=-\frac{3}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$v^{2}+\frac{8}{4}v=-\frac{3}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$v^{2}+2v=-\frac{3}{4}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$v^{2}+2v+1^{2}=-\frac{3}{4}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$v^{2}+2v+1=-\frac{3}{4}+1$$

Adunați -\frac{3}{4} cu 1.

$$v^{2}+2v+1=\frac{1}{4}$$

Factor v^{2}+2v+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(v+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$v+1=\frac{1}{2} v+1=-\frac{1}{2}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$v=-\frac{1}{2} v=-\frac{3}{2}$$