Rezolvați 4(x+3)^2-12(x+3)+9=0

$$4 ( x + 3 ) ^ { 2 } - 12 ( x + 3 ) + 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)-12\left(x+3\right)+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36-12\left(x+3\right)+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -12 cu x+3.

$$4x^{2}+24x+36-12x-36+9=0$$

Combinați 24x cu -12x pentru a obține 12x.

$$4x^{2}+12x+36-36+9=0$$

Scădeți 36 din 36 pentru a obține 0.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Soluția este perechea care dă suma de 12.

$$a=6 b=6$$

Rescrieți 4x^{2}+12x+9 ca \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 2x+3=0.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)-12\left(x+3\right)+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36-12\left(x+3\right)+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -12 cu x+3.

$$4x^{2}+24x+36-12x-36+9=0$$

Combinați 24x cu -12x pentru a obține 12x.

$$4x^{2}+12x+36-36+9=0$$

Scădeți 36 din 36 pentru a obține 0.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 12 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

Adunați 144 cu -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{12}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+6x+9\right)-12\left(x+3\right)+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu x^{2}+6x+9.

$$4x^{2}+24x+36-12\left(x+3\right)+9=0$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -12 cu x+3.

$$4x^{2}+24x+36-12x-36+9=0$$

Combinați 24x cu -12x pentru a obține 12x.

$$4x^{2}+12x+36-36+9=0$$

Scădeți 36 din 36 pentru a obține 0.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4x^{2}+12x=-9$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Împărțiți 12 la 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Adunați -\frac{9}{4} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=-\frac{3}{2}$$