Rezolvați 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-1$$

$$y=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 4.

$$y^{2}-y-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-2 b=1$$

Rescrieți y^{2}-y-2 ca \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right).

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

Scoateți factorul comun y din y^{2}-2y.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

Scoateți termenul comun y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-2=0 și y+1=0.

$$y=2 y=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu -4 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 128.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 144.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{4±12}{8} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 12.

$$y=\frac{16}{8}$$

Împărțiți 16 la 8.

$$y=2$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{4±12}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 12 din 4.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Împărțiți -8 la 8.

$$y=-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=2 y=-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Scăderea -8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

Scădeți -8 din 0.

$$4y^{2}-4y=8$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

Împărțiți -4 la 4.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$y^{2}-y=2$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Adunați 2 cu \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factor y^{2}-y+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$y=2 y=-1$$