Rezolvați 4x^2+4x-7=900

$$4 { x }^{ 2 } +4x-7=900$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2}\approx 14,566519173$$

$$x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}\approx -15,566519173$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+4x-7=900$$

Scădeți 900 din ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+4x-7-900=900-900$$

Scăderea 900 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+4x-7-900=0$$

Scădeți 900 din -7.

$$4x^{2}+4x-907=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 4 și c cu -907 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-907\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-907\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-907\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -907.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+14512}}{2\times 4}$$

Adunați 16 cu 14512.

$$x=\frac{-4±\sqrt{14528}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 14528.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{8} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 8\sqrt{227}.

$$x=\frac{8\sqrt{227}-4}{8}$$

Împărțiți -4+8\sqrt{227} la 8.

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±8\sqrt{227}}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{227} din -4.

$$x=\frac{-8\sqrt{227}-4}{8}$$

Împărțiți -4-8\sqrt{227} la 8.

$$x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2} x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x-7=900$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$4x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=900-\left(-7\right)$$

Scăderea -7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$4x^{2}+4x=900-\left(-7\right)$$

Scădeți -7 din 900.

$$4x^{2}+4x=907$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{907}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{907}{4}$$

Împărțiți 4 la 4.

$$x^{2}+x=\frac{907}{4}$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{907}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{907+1}{4}$$

Adunați \frac{907}{4} cu \frac{1}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=227$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=227$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{227}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{227} x+\frac{1}{2}=-\sqrt{227}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{227}-\frac{1}{2} x=-\sqrt{227}-\frac{1}{2}$$