Rezolvați 4=x^2-2x-11

$$4 = x ^ { 2 } - 2 x - 11$$

Rezolvați pentru x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}-2x-11=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$x^{2}-2x-11-4=0$$

Scădeți 4 din -11 pentru a obține -15.

$$x^{2}-2x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-2x-15 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-5 b=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+3=0.

$$x=5 x=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}-2x-11=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$x^{2}-2x-11-4=0$$

Scădeți 4 din -11 pentru a obține -15.

$$x^{2}-2x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-5 b=3$$

Rescrieți x^{2}-2x-15 ca \left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(3x-15\right)$$

Factor x în primul și 3 în al doilea grup.

$$x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și x+3=0.

$$x=5 x=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}-2x-11=4$$

Scădeți 4 din ambele părți.

$$x^{2}-2x-11-4=0$$

Scădeți 4 din -11 pentru a obține -15.

$$x^{2}-2x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -2 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-15\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2}$$

Adunați 4 cu 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±8}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±8}{2} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 8.

$$x=\frac{10}{2}$$

Împărțiți 10 la 2.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±8}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 8 din 2.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$x=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$x^{2}-2x-11=4$$

Adăugați 11 la ambele părți.

$$x^{2}-2x=4+11$$

Adunați 4 și 11 pentru a obține 15.

$$x^{2}-2x=15$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Adunați 15 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Simplificați.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-3$$