Rezolvați 360[1/n+1-1/n]=12

$$360 [ \frac { 1 } { n + 1 } - \frac { 1 } { n } ] = 12$$

Rezolvați pentru n

$$n=\frac{-1+\sqrt{119}i}{2}\approx -0,5+5,454356057i$$

$$n=\frac{-\sqrt{119}i-1}{2}\approx -0,5-5,454356057i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Se împart ambele părți la 360.

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{12}{360}$$

Reduceți fracția \frac{12}{360} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{30}$$

Variabila n nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 30n\left(n+1\right), cel mai mic multiplu comun al n+1,n,30.

$$30n-\left(30n+30\right)=n\left(n+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 30n+30, găsiți opusul fiecărui termen.

$$30n-30n-30=n\left(n+1\right)$$

Combinați 30n cu -30n pentru a obține 0.

$$-30=n\left(n+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu n+1.

$$-30=n^{2}+n$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$n^{2}+n=-30$$

Adăugați 30 la ambele părți.

$$n^{2}+n+30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 1 și c cu 30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 30}}{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 30}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 30.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-120}}{2}$$

Adunați 1 cu -120.

$$n=\frac{-1±\sqrt{-119}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -119.

$$n=\frac{-1±\sqrt{119}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±\sqrt{119}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{119}.

$$n=\frac{-1+\sqrt{119}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±\sqrt{119}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{119} din -1.

$$n=\frac{-\sqrt{119}i-1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{-1+\sqrt{119}i}{2} n=\frac{-\sqrt{119}i-1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Se împart ambele părți la 360.

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{12}{360}$$

Reduceți fracția \frac{12}{360} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{30}$$

Variabila n nu poate fi egală cu niciuna dintre valorile -1,0, deoarece împărțirea la zero nu este definită. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 30n\left(n+1\right), cel mai mic multiplu comun al n+1,n,30.

$$30n-\left(30n+30\right)=n\left(n+1\right)$$

Pentru a găsi opusul lui 30n+30, găsiți opusul fiecărui termen.

$$30n-30n-30=n\left(n+1\right)$$

Combinați 30n cu -30n pentru a obține 0.

$$-30=n\left(n+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu n+1.

$$-30=n^{2}+n$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$n^{2}+n=-30$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=-30+\frac{1}{4}$$

Adunați -30 cu \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=-\frac{119}{4}$$

Factor n^{2}+n+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{119}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{4}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{119}i}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{119}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{-1+\sqrt{119}i}{2} n=\frac{-\sqrt{119}i-1}{2}$$