Rezolvați 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

Descompunere în factori

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3z^{2}+az+bz+20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Soluția este perechea care dă suma de 16.

$$a=6 b=10$$

Rescrieți 3z^{2}+16z+20 ca \left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right).

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

Factor 3z în primul și 10 în al doilea grup.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

Scoateți termenul comun z+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Ridicați 16 la pătrat.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Adunați 256 cu -240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-16±4}{6} atunci când ± este plus. Adunați -16 cu 4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Împărțiți -12 la 6.

$$z=-2$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-16±4}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$z=-\frac{10}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -2 și x_{2} cu -\frac{10}{3}.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Adunați \frac{10}{3} cu z găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 3 și 3.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Evaluați

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$