Rezolvați 3x-x^2=1

$$3 x - x ^ { 2 } = 1$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}+3x=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$-x^{2}+3x-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu 3 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 9 cu -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Împărțiți -3+\sqrt{5} la -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{5} din -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Împărțiți -3-\sqrt{5} la -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=1$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 3 la -1.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{-1}$$

Împărțiți 1 la -1.

$$x^{2}-3x=-1$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Adunați -1 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$