Rezolvați 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Descompunere în factori

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Pașii soluției

Înmulțiți și combinați termenii similari.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Pentru a factor expresia, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -16 și q împarte coeficientul inițial 3. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 la x+4 pentru a obține 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -4 și q împarte coeficientul inițial 3. Enumerați toți candidații \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Găsiți o astfel de rădăcină, încercând toate valorile întregi, pornind de la cea mai mică valoare absolută. Dacă nu s-au găsit rădăcini întregi, încercați fracțiuni.

$$x=-4$$

Conform teoremei descompunerii factoriale, x-k este un factor al polinomului pentru fiecare rădăcină k. Împărțiți 3x^{3}+12x^{2}-x-4 la x+4 pentru a obține 3x^{2}-1. Pentru a factor rezultatul, rezolvați ecuația unde este egal cu 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 3, b cu 0 și c cu -1.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Rezolvați ecuația 3x^{2}-1=0 când ± este plus și când ± este minus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Rescrieți expresia descompusă în factori utilizând rădăcinile obținute. Polinomul 3x^{2}-1 nu este descompus în factori, pentru că nu are rădăcini raționale.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Evaluați

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Pașii soluției

Combinați 48x^{2} cu -x^{2} pentru a obține 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$