Rezolvați 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -40 și c cu 96 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Adunați 1600 cu -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 40 cu 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Împărțiți 40+8\sqrt{7} la 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{7} din 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Împărțiți 40-8\sqrt{7} la 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Scădeți 96 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Scăderea 96 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Împărțiți -96 la 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Împărțiți -\frac{40}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{20}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{20}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{20}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Adunați -32 cu \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Adunați \frac{20}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$