Rezolvați 3x^2-4x+8=0

$$3 x ^ { 2 } - 4 x + 8 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,666666667+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}\approx 0,666666667-1,490711985i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-4x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -4 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\times 8}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 3}$$

Adunați 16 cu -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -80.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Opusul lui -4 este 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați 4 cu 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{5}i}{6}$$

Împărțiți 4+4i\sqrt{5} la 6.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{5} din 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{6}$$

Împărțiți 4-4i\sqrt{5} la 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x+8=0$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-4x+8-8=-8$$

Scăderea 8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-4x=-8$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{8}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați -\frac{8}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{20}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$