Rezolvați 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=1$$

Rescrieți 3x^{2}-2x-1 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Scoateți factorul comun 3x din 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -2 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Adunați 4 cu 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4}{6} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±4}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$