Rezolvați 3x^2+9x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 9 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-0,866025404i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 9 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Ridicați 9 la pătrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 9}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-108}}{2\times 3}$$

Adunați 81 cu -108.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -27.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați -9 cu 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{3}i}{6}$$

Împărțiți -9+3i\sqrt{3} la 6.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 3i\sqrt{3} din -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-9}{6}$$

Împărțiți -9-3i\sqrt{3} la 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+9x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+9x=-9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Împărțiți 9 la 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{3}$$

Împărțiți -9 la 3.

$$x^{2}+3x=-3$$

Împărțiți 3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Adunați -3 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Scădeți \frac{3}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$