Rezolvați 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-11. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -33.

$$-1,33 -3,11$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=-3 b=11$$

Rescrieți 3x^{2}+8x-11 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Factor 3x în primul și 11 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 8 și c cu -11 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Adunați 64 cu 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±14}{6} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±14}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-22}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Adunați 11 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Scăderea -11 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Scădeți -11 din 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Împărțiți \frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Adunați \frac{11}{3} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$