Rezolvați 3t^2-7t=1

$$3 t ^ { 2 } - 7 t = 1$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{\sqrt{61} + 7}{6} \approx 2,468374946$$

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}\approx -0,135041613$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3t^{2}-7t=1$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$3t^{2}-7t-1=1-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3t^{2}-7t-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -7 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\times 3}$$

Adunați 49 cu 12.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$t=\frac{7±\sqrt{61}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{7±\sqrt{61}}{6} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{61}.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{7±\sqrt{61}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{61} din 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3t^{2}-7t=1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3t^{2}-7t}{3}=\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t=\frac{1}{3}$$

Împărțiți -\frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{49}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

Factor t^{2}-\frac{7}{3}t+\frac{49}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} t-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Adunați \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{\sqrt{61}+7}{6} t=\frac{7-\sqrt{61}}{6}$$