Rezolvați 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Rezolvați pentru r

$$r=3$$

$$r=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 45 la ambele părți.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca r^{2}+ar+br+15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -8.

$$a=-5 b=-3$$

Rescrieți r^{2}-8r+15 ca \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Factor r în primul și -3 în al doilea grup.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Scoateți termenul comun r-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați r-5=0 și r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Adunați 45 la ambele părți ale ecuației.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Scăderea -45 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Scădeți -45 din 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -24 și c cu 45 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Adunați 576 cu -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{24±6}{6} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Împărțiți 30 la 6.

$$r=5$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{24±6}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Împărțiți 18 la 6.

$$r=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$r=5 r=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Împărțiți -24 la 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Împărțiți -45 la 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Împărțiți -8, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -4. Apoi, adunați pătratul lui -4 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Ridicați -4 la pătrat.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Adunați -15 cu 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Factor r^{2}-8r+16. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$r=5 r=3$$