Rezolvați 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Rezolvați pentru n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 1141 din ambele părți.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Scădeți 1141 din 1 pentru a obține -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Se împart ambele părți la 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca n^{2}+an+bn-380. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-19 b=20$$

Rescrieți n^{2}+n-380 ca \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Factor n în primul și 20 în al doilea grup.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Scoateți termenul comun n-19 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-19=0 și n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Scădeți 1141 din ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Scăderea 1141 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Scădeți 1141 din 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 3 și c cu -1140 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Adunați 9 cu 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-3±117}{6} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Împărțiți 114 la 6.

$$n=19$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-3±117}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 117 din -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Împărțiți -120 la 6.

$$n=-20$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=19 n=-20$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Scădeți 1 din 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Împărțiți 3 la 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Împărțiți 1140 la 3.

$$n^{2}+n=380$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Adunați 380 cu \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Factor n^{2}+n+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$n=19 n=-20$$