Rezolvați 3x^2-5x-12=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-12=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-12. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-9 b=4$$

Rescrieți 3x^{2}-5x-12 ca \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Factor 3x în primul și 4 în al doilea grup.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 3x+4=0.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-5x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -5 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 3}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{5±13}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±13}{6} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 13.

$$x=\frac{18}{6}$$

Împărțiți 18 la 6.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±13}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 5.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-12=0$$

Adunați 12 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Scăderea -12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-12\right)$$

Scădeți -12 din 0.

$$3x^{2}-5x=12$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{12}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{12}{3}$$

Împărțiți 12 la 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=4$$

Împărțiți -\frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

Adunați 4 cu \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

Adunați \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$