Rezolvați 3n^2+5n-1300=0

$$3 { n }^{ 2 } +5n-1300 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = -\frac{65}{3} = -21\frac{2}{3} \approx -21,666666667$$

$$n=20$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3n^{2}+an+bn-1300. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=3\left(-1300\right)=-3900$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -3900.

$$-1,3900 -2,1950 -3,1300 -4,975 -5,780 -6,650 -10,390 -12,325 -13,300 -15,260 -20,195 -25,156 -26,150 -30,130 -39,100 -50,78 -52,75 -60,65$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+3900=3899 -2+1950=1948 -3+1300=1297 -4+975=971 -5+780=775 -6+650=644 -10+390=380 -12+325=313 -13+300=287 -15+260=245 -20+195=175 -25+156=131 -26+150=124 -30+130=100 -39+100=61 -50+78=28 -52+75=23 -60+65=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-60 b=65$$

Rescrieți 3n^{2}+5n-1300 ca \left(3n^{2}-60n\right)+\left(65n-1300\right).

$$\left(3n^{2}-60n\right)+\left(65n-1300\right)$$

Factor 3n în primul și 65 în al doilea grup.

$$3n\left(n-20\right)+65\left(n-20\right)$$

Scoateți termenul comun n-20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-20\right)\left(3n+65\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-20=0 și 3n+65=0.

$$n=20 n=-\frac{65}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}+5n-1300=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 5 și c cu -1300 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-1300\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-1300\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-1300\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1300.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+15600}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu 15600.

$$n=\frac{-5±\sqrt{15625}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 15625.

$$n=\frac{-5±125}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{-5±125}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-5±125}{6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 125.

$$n=\frac{120}{6}$$

Împărțiți 120 la 6.

$$n=20$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-5±125}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 125 din -5.

$$n=-\frac{130}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-130}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=-\frac{65}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=20 n=-\frac{65}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+5n-1300=0$$

Adunați 1300 la ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}+5n-1300-\left(-1300\right)=-\left(-1300\right)$$

Scăderea -1300 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}+5n=-\left(-1300\right)$$

Scădeți -1300 din 0.

$$3n^{2}+5n=1300$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}+5n}{3}=\frac{1300}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n=\frac{1300}{3}$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1300}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}=\frac{1300}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați \frac{1300}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}=\frac{15625}{36}$$

Factor n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{15625}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15625}{36}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{5}{6}=\frac{125}{6} n+\frac{5}{6}=-\frac{125}{6}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$n=20 n=-\frac{65}{3}$$