Rezolvați 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 12 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 144 cu 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 192.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Împărțiți -12+8\sqrt{3} la -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{3} din -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Împărțiți -12-8\sqrt{3} la -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Împărțiți 12 la -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Împărțiți -3 la -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} cu \frac{9}{4} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$