Rezolvați 2500=1600+left(6+x+xright)^2

$$2500=1600+ { \left(6+x+x \right) }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=12$$

$$x=-18$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2500=1600+\left(6+2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(6+2x\right)^{2}.

$$2500=1600+36+24x+4x^{2}$$

Adunați 1600 și 36 pentru a obține 1636.

$$2500=1636+24x+4x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$1636+24x+4x^{2}=2500$$

Scădeți 2500 din ambele părți.

$$1636+24x+4x^{2}-2500=0$$

Scădeți 2500 din 1636 pentru a obține -864.

$$-864+24x+4x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 4.

$$-216+6x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+6x-216=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-216. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=1\left(-216\right)=-216$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -216.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 6.

$$a=-12 b=18$$

Rescrieți x^{2}+6x-216 ca \left(x^{2}-12x\right)+\left(18x-216\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(18x-216\right)$$

Factor x în primul și 18 în al doilea grup.

$$x\left(x-12\right)+18\left(x-12\right)$$

Scoateți termenul comun x-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-12\right)\left(x+18\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-12=0 și x+18=0.

$$x=12 x=-18$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2500=1600+\left(6+2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(6+2x\right)^{2}.

$$2500=1600+36+24x+4x^{2}$$

Adunați 1600 și 36 pentru a obține 1636.

$$2500=1636+24x+4x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$1636+24x+4x^{2}=2500$$

Scădeți 2500 din ambele părți.

$$1636+24x+4x^{2}-2500=0$$

Scădeți 2500 din 1636 pentru a obține -864.

$$-864+24x+4x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4x^{2}+24x-864=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 24 și c cu -864 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\left(-864\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 24 la pătrat.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\left(-864\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\left(-864\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -864.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+13824}}{2\times 4}$$

Adunați 576 cu 13824.

$$x=\frac{-24±\sqrt{14400}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 14400.

$$x=\frac{-24±120}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$x=\frac{-24±120}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±120}{8} atunci când ± este plus. Adunați -24 cu 120.

$$x=\frac{96}{8}$$

Împărțiți 96 la 8.

$$x=12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24±120}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 120 din -24.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Împărțiți -144 la 8.

$$x=-18$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=12 x=-18$$

Pași pentru completarea pătratului

Combinați x cu x pentru a obține 2x.

$$2500=1600+\left(6+2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(6+2x\right)^{2}.

$$2500=1600+36+24x+4x^{2}$$

Adunați 1600 și 36 pentru a obține 1636.

$$2500=1636+24x+4x^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$1636+24x+4x^{2}=2500$$

Scădeți 1636 din ambele părți.

$$24x+4x^{2}=2500-1636$$

Scădeți 1636 din 2500 pentru a obține 864.

$$24x+4x^{2}=864$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x=864$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=\frac{864}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=\frac{864}{4}$$

Împărțiți 24 la 4.

$$x^{2}+6x=\frac{864}{4}$$

Împărțiți 864 la 4.

$$x^{2}+6x=216$$

Împărțiți 6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 3. Apoi, adunați pătratul lui 3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+6x+3^{2}=216+3^{2}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$x^{2}+6x+9=216+9$$

Adunați 216 cu 9.

$$x^{2}+6x+9=225$$

Factor x^{2}+6x+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=225$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Simplificați.

$$x+3=15 x+3=-15$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$x=12 x=-18$$