Rezolvați 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25y^{2}+ay+by-63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -54.

$$a=-75 b=21$$

Rescrieți 25y^{2}-54y-63 ca \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Factor 25y în primul și 21 în al doilea grup.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Scoateți termenul comun y-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-3=0 și 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -54 și c cu -63 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -54 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Adunați 2916 cu 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Opusul lui -54 este 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{54±96}{50} atunci când ± este plus. Adunați 54 cu 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Împărțiți 150 la 50.

$$y=3$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{54±96}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 96 din 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-42}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Adunați 63 la ambele părți ale ecuației.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Scăderea -63 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Scădeți -63 din 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Împărțiți -\frac{54}{25}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{27}{25}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{27}{25} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{27}{25} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Adunați \frac{63}{25} cu \frac{729}{625} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Factor y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Simplificați.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Adunați \frac{27}{25} la ambele părți ale ecuației.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$